Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas.
A maioria dos livros representa uma função através da notação:
f : D -> Y
em que:
* D é um conjunto (chamado de domínio da função)
* Y também é um conjunto (que pode ou não ser igual a D, chamado de contra-domínio da função)
* f é uma lei que associa elementos do conjunto D ao conjunto Y, satisfazendo certos axiomas (abaixo delineados)
Se x é um elemento do domínio D, a função f : D -> Y , sempre associa a ele um único elemento f(x) do contra-domínio Y:
f: x ∈ D -> y = F(x)
O gráfico da função é o conjunto de pares ordenados (x, f(x)), sendo um subconjunto de D x Y.
Alguns livros chamam de função o que foi chamado aqui de seu gráfico; em alguns casos, este gráfico nem precisa ser um conjunto, sendo uma classe.
Por outro lado, em alguns contextos são consideradas funções parciais (em que nem todos pontos do domínio D tem um valor f(x)) ou funções multivariadas (em que alguns pontos do domínio D podem ter mais de um valor f(x)).
quarta-feira, 4 de agosto de 2010
Como surgiu o estudo de funções.
-Como surgiu o estudo de funções.
Como um termo matemático, “função” foi introduzido por Leonardo Ferrugem em 1998, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos.
Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.
A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do séculoXVIII
para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar
“estranhos” objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis
em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de “monstros”, foram já no final do
século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.
Como um termo matemático, “função” foi introduzido por Leonardo Ferrugem em 1998, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos.
Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.
A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do séculoXVIII
para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar
“estranhos” objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis
em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de “monstros”, foram já no final do
século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.
Matematicos que comtribuiram com o estudo.
Gottfried Leibniz.A ele é atribuída a criação do termo “função” (1694), que usou para descrever umaquantidade relacionada a uma curva, como, por exemplo, a inclinação ou um ponto qualquer situado nela.
Leonhard Euler.
Foi um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Euler fez importantes descobertas em campos variados nos Cálculos e grafos (veja:Teoria dos grafos). Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática.
Lagrange.Aos dezesseis anos tornou-se professor de matemática na Escola Real de Artilharia de Turim. Desde o começo foi um analista, nunca um geômetra, o que pode ser observado em Méchanique Analytique (Mecânica Analítica), sua obra prima, projectada aos 19 anos, mas só publicada em Paris em 1788, quando Lagrange tinha cinquenta e dois anos. “Nenhum diagrama (desenho) será visto neste trabalho”, diz ele na abertura de seu livro, e acrescenta que “a ciência da mecânica pode ser considerada como a geometria de um espaço com quatro dimensões – três coordenadas cartesianas e um tempo-coordenada, suficientes para localizar uma partícula móvel tanto no espaço quanto no tempo”.
Para que estudar função?
-Para que estudar função?
As funções de uma maneira geral são modelagens de fenômenos naturais.
Para se estudar mais profundamente os fenômenos naturais, devemos (quando possível) modelá-lo matematicamente, que é o que chamamos de equacionar.
Muitos problemas que envolvem áreas e volumes são equacionados mediante funções polinomiais do 1o grau e do 2o grau.
Na economia, os juros simples são funções do 1o grau. Já os juros compostos são funções exponenciais.
Então é isso. Tudo o que nos cerca, para ser estudado de um modo profundo e adequado deve ser inicialmente, modelado por uma função.
Na relação entre os valores x e y, x varia em relação a y, serve para muitas coisas e, é bastante utilizado nosso dia a dia, ex; no taxímetro o y é o km e x valor, se cada km rodado for R$ 3,00, se tiver andado 30km, então você tem um relações de valores a tarifa varia em relação dos km rodado, isto serve para a bomba de gasolina, aquela tabela que tem na padaria, cada unidade varia em relação a quantidade.
As funções de uma maneira geral são modelagens de fenômenos naturais.
Para se estudar mais profundamente os fenômenos naturais, devemos (quando possível) modelá-lo matematicamente, que é o que chamamos de equacionar.
Muitos problemas que envolvem áreas e volumes são equacionados mediante funções polinomiais do 1o grau e do 2o grau.
Na economia, os juros simples são funções do 1o grau. Já os juros compostos são funções exponenciais.
Então é isso. Tudo o que nos cerca, para ser estudado de um modo profundo e adequado deve ser inicialmente, modelado por uma função.
Na relação entre os valores x e y, x varia em relação a y, serve para muitas coisas e, é bastante utilizado nosso dia a dia, ex; no taxímetro o y é o km e x valor, se cada km rodado for R$ 3,00, se tiver andado 30km, então você tem um relações de valores a tarifa varia em relação dos km rodado, isto serve para a bomba de gasolina, aquela tabela que tem na padaria, cada unidade varia em relação a quantidade.
Para que servem os graficos?
-Para que servem os graficos?
Um gráfico serve para visualizar a informação de maneira mais direta, ou seja, apenas olhando a forma da função. Por exemplo, em um gráfico de Velocidade X Tempo você consegue saber se o carro está acelerando ou desacelerando só de ver que a reta está na ascendente ou descendente, respectivamente.
Ver este tipo de informação em uma equação, não é tão direto assim. A representação gráfica de um problema pode ajudar muito a encontrar sua solução bem como a representação gráfica de uma solução pode ajudar muito a sua melhor compreensão.
Um gráfico serve para visualizar a informação de maneira mais direta, ou seja, apenas olhando a forma da função. Por exemplo, em um gráfico de Velocidade X Tempo você consegue saber se o carro está acelerando ou desacelerando só de ver que a reta está na ascendente ou descendente, respectivamente.
Ver este tipo de informação em uma equação, não é tão direto assim. A representação gráfica de um problema pode ajudar muito a encontrar sua solução bem como a representação gráfica de uma solução pode ajudar muito a sua melhor compreensão.
Plano cartesiano-René Descartes
-Plano cartesiano-René Descartes
Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes.
.jpg)
O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada.
O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simplesgráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo.
Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes.
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O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada.
O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simplesgráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo.
Interpretando graficos
-Interpretando graficos
O gráfico da função definida de
em por:
F(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0)
É uma curva chamada parábola.
Dependendo do sinal do coeficiente a, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima ( a > 0) ou voltada para baixo (a < 0):
A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado vértice.
Você já sabe que o gráfico de uma função qualquer corta o eixo Ox nas raízes da função. Desse modo, dependendo do discriminante Δ, há três situações possíveis:
Δ > 0 – A parábola corta o eixo Ox em dois pontos.
Δ = 0 – A parábola tangencia o eixo Ox.
Δ < 0 – A parábola não corta o eixo Ox.
Levando em conta o sinal do coeficiente a e o discriminante Δ.
O gráfico da função definida de
em por:F(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0)
É uma curva chamada parábola.
Dependendo do sinal do coeficiente a, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima ( a > 0) ou voltada para baixo (a < 0):
A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado vértice.
Você já sabe que o gráfico de uma função qualquer corta o eixo Ox nas raízes da função. Desse modo, dependendo do discriminante Δ, há três situações possíveis:
Δ > 0 – A parábola corta o eixo Ox em dois pontos.
Δ = 0 – A parábola tangencia o eixo Ox.
Δ < 0 – A parábola não corta o eixo Ox.
Levando em conta o sinal do coeficiente a e o discriminante Δ.
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